Habilidades BNCC

  • EM13MAT310
    Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Roteiro do Vídeo

As necessidades de medir e de contar surgiram naturalmente, com o desenvolvimento humano.

Porém, contar grandes quantidades ou o número de possibilidades e formas que algo pode tomar, nem sempre foi tão simples.

A análise combinatória em matemática trata desses problemas de contagem.

Por exemplo, uma pessoa quer ir de Recife para Florianópolis, passando pelo Rio de Janeiro.

Há 5 possíveis rotas de Recife para o Rio de Janeiro e 4 do Rio de Janeiro para Florianópolis.

De quantas maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a Florianópolis, passando pelo Rio de Janeiro?

Nesse caso, há 20 possibilidades de trajetos diferentes.

Para se calcular isso, basta multiplicar 5 por 4.

Mas nem sempre é simples ou intuitivo como nesse caso.

Hoje, iremos aprender algumas técnicas de contagem de possibilidades dentro da análise combinatória.

Pegue seu material para realizar anotações e fique atento aos vídeos e conceitos mostrados. Foque em diferenciar os modos de contagem apresentados.

Boa aula!

Vídeo 1:  Roda Roda (0’12’’ a 8’20’’)

Parceiro realizador:  M3 – Unicamp

Duração: 8’08’’

https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1171

 

Vídeo 2: Continuando com permutações – Matemática – Ens. Médio – Telecurso (0’18’’ a 13’49’’)

Parceiro realizador:  Telecurso 2000

Duração:  13’31’’

 

Vídeo 3: As combinações – Matemática – Ens. Médio – Telecurso (0’18’’ a 12’42’’)

Parceiro realizador:  Telecurso 2000

Duração: 12’24″

Os vídeos abordaram conceitos relacionados com análise combinatória, como permutações, permutações circulares e combinações.

Permutações significam trocas.

Ao calcularmos quantas possibilidades de filas podemos formar com 4 pessoas, basta multiplicarmos 4 por 3 por 2 e por 1, totalizando 24 filas diferentes.

(ESCREVER NA TELA ENQUANTO ESSE PARÁGRAFO É DITO “P4 = 4 · 3 · 2 · 1 = 24”)

Porém, ao calcularmos de quantas formas 4 pessoas podem se sentar em uma mesa para jantar, temos que fazer 4 menos 1, que dá 3, e calcularmos o fatorial de 3, que é 3 vezes 2 vezes 1, resultando em apenas 6 formas.

(ESCREVER NA TELA ENQUANTO ESSE PARÁGRAFO É DITO“(4 – 1)! = 3! = 3 · 2 · 1 = 6”).

Se quisermos calcular de quantas maneiras podemos escolher 11 pessoas dentro de um grupo de 15, basta fazermos uma combinação em que de 15 elementos, escolhemos 11.

Isso fica assim: Combinação de 15 elementos tomados de 11 em 11, é igual a 15 fatorial dividido por 11 fatorial multiplicado por 15 menos 11 fatorial.

(ESCREVER NA TELA ENQUANTO ISSO É LIDO: “C15,11 = )

A atividade de hoje se baseará nesses conceitos.

Pense em quantas pessoas vivem com você.

Você deverá calcular duas coisas:

De quantas maneiras todas elas poderão se sentar em uma mesa para realizar uma refeição e de quantas formas distintas é possível escolher duas delas aleatoriamente para ver um filme com você.

Se você viver somente com mais uma ou duas pessoas, imagine o número de pessoas que desejar para fazer essa atividade.

Boa atividade!

 

Como saber se a atividade está correta?

A atividade proposta tinha como objetivo utilizar conceitos de análise combinatória para resolver dois problemas.

O primeiro era calcular de quantas formas diferentes todas as pessoas que vivem com você poderiam se sentar em torno de uma mesa para realizar uma refeição.

Isso é uma permutação circular e, portanto, você deveria calcular o fatorial do número de pessoas que vive com você subtraído de 1.

Vamos supor que 6 pessoas vivam com você.

Então, o número de modos distintos de todas se sentarem em torno de uma mesa é 6 menos 1 fatorial é igual a cinco fatorial que é igual a 120.

COLOCAR NA TELA: (6–1)! = 5! = 120

Já para escolher duas pessoas para assistirem um filme com você, era necessário usar combinação.

Por exemplo, se seis pessoas vivem com você, você deveria fazer:

Combinação de 6 de 2 em 2 é igual a 6 fatorial dividido por 2 fatorial vezes seis menos 2 fatorial, que é igual a 15.  (ESCREVER NA TELA)

Para cada realidade representada, essa atividade terá uma resposta diferente.

Esperamos que tenha acertado nos cálculos!

Para saber mais, basta apontar a câmera do celular para o QR code que está na tela.

Bom estudo!